Matematično modeliranje

1. naloga

(a) Ker lahko \(y\) izrazimo kot funkcijo spremenljivke \(x\), lahko izberemo kar \(x = t\) in dobimo še \(y = x^2 = t^2\). Ena od parametrizacij je torej kar \(\mathbf{p}(t) = [t,t^2]^\mathsf{T}\). 

(b) Tokrat lahko izberemo \(y = t\), dobimo \(x = f(t)\) in parametrizacijo \(\mathbf{p}(t) = [f(t),t]^\mathsf{T}\).

(c) To je enačba krožnice v implicitni obliki. Eno (standardno) parametrizacijo dobimo iz znane zveze \(\cos^2 (t) + \sin^2 (t) = 1\). Od tod dobimo \((r \cos t)^2 + (r \sin t)^2 = r^2\), torej lahko vzamemo \(x - p = r\cos t\) in \(y-q = r\sin t\). Parametrizacija je \[\mathbf{p}(t) = [p + r\cos t, q + r\sin t]^\mathsf{T} \textrm{. }\]

(d) Podobno kot zgoraj poiščemo parametrizacijo \(\mathbf{p}(t) = [a \cos t, b \sin t]^\mathsf{T}\).

2. naloga

Točke v preseku krivulj z danima parametrizacijama bomo dobili iz rešitev sistema (nelinearnih) enačb \[\mathbf{p}_1(t) = \mathbf{p}_2(s) \textrm{. }\] V našem primeru dobimo sistem \begin{align*} r \cos t &= r \sin s \textrm{, } \\ r \sin t &= r \cos s \textrm{, } \\ at &= as \textrm{. } \end{align*} Iz zadnje enačbe sledi \(s = t\), prva (in druga) enačba je potem enakovredna \(\tan t = 1\), od koder sledi, da presečišča dobimo pri parametrih \(t_k = \pi/4 + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\). Ko to vstavimo v (recimo) prvo parametrizacijo, dobimo koordinate presečišč \[ \mathbf{p}_1(t_k) = [\pm r/\sqrt{2}, \pm r/\sqrt{2}, a(\pi/4 + k\pi)]^\mathsf{T} \textrm{, }\] predznak \(+\) za sode \(k\), \(-\) pa za lihe \(k\).

Kot med krivuljama v presečiščih je kot med tangentima vektorjema. Poiščimo najprej oba odvoda: \begin{align*} \dot{\mathbf{p}}_1(t) &= [-r \sin t, r \cos t, a]^\mathsf{T} \textrm{, } \\ \dot{\mathbf{p}}_2(t) &= [r \cos t, -r \sin t, a]^\mathsf{T} \textrm{. }\end{align*} V presečiščih dobimo \begin{align*} \dot{\mathbf{p}}_1(t_k) &= [\mp r/\sqrt{2}, \pm r/\sqrt{2}, a]^\mathsf{T} \textrm{, } \\ \dot{\mathbf{p}}_2(t_k) &= [\pm r/\sqrt{2}, \mp r/\sqrt{2}, a]^\mathsf{T} \textrm{. }\end{align*} Kot sedaj izračunamo iz \[ \cos \phi = \frac{\dot{\mathbf{p}}_1(t_k) \cdot \dot{\mathbf{p}}_2(t_k)}{\| \dot{\mathbf{p}}_1(t_k)\|\, \|\dot{\mathbf{p}}_2(t_k)\|} = \frac{a^2 - r^2}{a^2 + r^2} \textrm{. } \] V primeru \(a = r\) je \(\cos \phi = 0\) in \(\phi = \pi/2 = 90^\circ\).