Rešitev
Ciljanje
Rešitev, ki uporablja, kar smo se učili na predavanjih v tednu po roku za oddajo naloge, je takšna.
from math import *
from random import *
cilj = randint(10, 50)
print("Cilj je", cilj, "daleč. Uspešno streljajte.")
razdalja = 0
while abs(cilj - razdalja) > 1:
hitrost = float(input("Hitrost: "))
kot = radians(float(input("Kot: ")))
razdalja = (hitrost ** 2) * sin(2 * kot) / 9.81
if abs(cilj - razdalja) > 1:
print("Mimo: kroglo je neslo", razdalja, "daleč.")
print("Bum.")
V pogoju zanke preverjamo, ali je razdalja, ki jo preleti krogla, za manj kot 1 različna od razdalje do cilja. Z uporabo abs smo se izognili temu, da bi morali pisati pogoje v slogu
while razdalja > cilj - 1 and razdalja < cilj + 1:
ali kaj podobnega.
Ker uporabnika sprašujemo šele v zanki in torej tudi razdalja računamo šele v njej, pred zanko nastavimo razdalja na neko vrednost, ki je gotovo napačna, v našem primeru 0.
Malo moteče je, da dvakrat računamo abs(cilj - razdalja) > 1. Rešimo se, recimo, z nečim, česar na drugih predavanjih še nisem hotel omeniti, da se ne bi prehitro razvadili: zanko lahko prekinemo z break.
from math import *
from random import *
cilj = randint(10, 50)
print("Cilj je", cilj, "daleč. Uspešno streljajte.")
while True:
hitrost = float(input("Hitrost: "))
kot = radians(float(input("Kot: ")))
razdalja = (hitrost ** 2) * sin(2 * kot) / 9.81
if abs(cilj - razdalja) <= 1:
break
print("Mimo: kroglo je neslo", razdalja, "daleč.")
print("Bum.")
Pogoj v zanki je zdaj kar while True: zanka naj se vrti v nedogled. No, skoraj: če je cilj zadet, jo prekinemo z break.
V študentskih izdelkihh sem pogosto videval "zastavice". Takole
from math import *
from random import *
cilj = randint(10, 50)
print("Cilj je", cilj, "daleč. Uspešno streljajte.")
zadet = False
while not zadet:
hitrost = float(input("Hitrost: "))
kot = radians(float(input("Kot: ")))
razdalja = (hitrost ** 2) * sin(2 * kot) / 9.81
if abs(cilj - razdalja) <= 1:
zadet = True
else:
print("Mimo: kroglo je neslo", razdalja, "daleč.")
print("Bum.")
Tudi prav. Z break-om se jim sicer lahko navadno izognemo.
Nekateri ste pisali while zadet == False. To je manj lepo. Pravzaprav ni lepo. :)
Prašič in cilj: rocket science. :)
Najprej vprašamo uporabnika, kje sta prašič in cilj.
xp = float(input("Razdalja do prašiča: "))
yp = float(input("Višina prašiča: "))
xc = float(input("Razdalja do cilja: "))
Potem si premislimo in ne sprašujemo uporabnika, da ne bo potrebno stalno vpisovati številk, ko bomo popravljali program. Številke kar vprogramiramo; ko bomo popravljali program, jih bomo malo spreminjali, na koncu pa spet vrnemo input-e.
Rešitev z malo poskušanja
from math import *
g = 9.81
xp = 2
yp = 8
xc = 10
kot = 0
while kot < 90:
kot += 0.1
radkot = radians(kot)
v = sqrt(xc * g / sin(2 * radkot))
vx = v * cos(radkot)
vy = v * sin(radkot)
t = xp / vx
visina = vy * t - g * t ** 2 / 2
if abs(yp - visina < 0.1:
print(kot, v)
Program preskusi različne kote, s korakom 0.1 stopinje. Izpisal bo vse kombinacije (kot, hitrost), ki zadanejo cilj in prašiča.
V zanko počnemo tole. Ko si izberemo kot, lahko iz tega izračunamo potrebno hitrost. Le formulo iz obvezne domače naloge moramo preobrniti: tam smo iz kota in hitrosti računali razdaljo, tu pa iz kota in razdalje računamo hitrost.
Ko imamo hitrost (v), jo razstavimo na vodoravno in navpično komponento. Krogla se bo v začetku pomikala s hitrostjo vx v vodoravni smeri in vy navzgor. Vodoravno hitrost bo obdržala, torej lahko izračunamo, koliko časa bo potrebovala do prašiča -- v vodoravni smeri: t = xp / vx. V času t bo torej nad, pod ali v prašiču. Izračunati moramo le še, kako visoko bo v tem trenutku. Iz fizike vemo, da je pot pri pospešenem gibanju enaka $$s = v t + a t^2 / 2,$$ kjer je $v$ začetna hitrost, $a$ pa pospešek. Pri nas kažeta začetna hitrost in pospešek v različni smeri, poleg tega pa opazujemo le navpično komponento, zato vy * t - g * t ** 2 / 2.
To je to.
Računska rešitev
Naj bo top torej v točki $(0, 0)$, prašič v $(x_p, y_p)$ in cilj na $(x_c, 0)$.
Vemo, da krogla leti po paraboli, torej funkciji z enačbo
$$y = ax^2 + b^x + c.$$.
Parabola mora teči skozi zgornje točke. Njihove $x$ in $y$ vstavimo v enačbo in dobimo sistem enačb.
$$0 = a 0^2 + b 0 + c$$ $$y_p = a x_p^2 + bx_p + c$$ $$0 = a x_c^2 + bx_c + c$$
Prva enačba pove, da je $c=0$. Ostaneta le še drugi dve, brez $c$jev.
$$y_p = a x_p^2 + bx_p$$ $$0 = a x_c^2 + bx_c$$
Zadnjo delimo z $x_c$ (to smemo gotovo storiti, saj vemo da $x_c\ne 0,$ razen če smo topničarju ukazali, naj naredi harakiri s topom). Potem jo obrnemo v $b = -ax_c$.
To nesemo v drugo enačbo in imamo
$$ y_p = a x_p^2 - ax_c x_p. $$
Izpostavimo $a$ in delimo z $x_p^2 - x_c x_p$, pa imamo
$$ a = \frac{y_p}{x_p^2 - x_c x_p}.$$
In, ker je $b = -ax_c$, je
$$ b = -\frac{y_p x_c}{x_p^2 - x_c x_p},$$
oziroma
$$ b = -\frac{y_p x_c}{x_c x_p - x_p^2}.$$
Iz podatkov torej znamo izračunati enačbo parabole. Topničar pa potrebuje kot in hitrost. Matematika nas uči, da je tangens kota enak odvoda v tej točki. Če imamo $y = ax^2 + bx + c,$ je odvod enak
$$y' = ax + b.$$
Zanima nas odvod v izhodišču. Vstavimo $x=0$, dobimo $y' = b$. Kot je potem
$$\phi = \arctan b = \arctan \frac{y_p x_c}{x_c x_p - x_p^2}.$$
Hitrost pa, spet, dobimo tako, da preobrnemo formulo $x_c = \frac{v^2 \sin(2\phi)}{g},$ ki je bila podana ob nalogi, tako da izrazimo $v$:
$$v = \sqrt{\frac{x_c g }{\sin 2\phi}}.$$
Rešitev je torej:
from math import *
xp = float(input("Razdalja do prašiča: "))
yp = float(input("Višina prašiča: "))
xc = float(input("Razdalja do cilja: "))
phi = atan((yp * xc) / (xp * xc - xp ** 2))
v = sqrt(cilj * g / sin(2 * phi))
print(degrees(phi), v)